Sejam $𝐶_1$ o arco da parábola $𝑦=1−𝑥^2$ no plano $𝑥𝑦$ compreendido entre os pontos $(−1,0)$ e $(1,0)$, e $𝐶_2$ o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por
$F(x,y)-(y^2+1,y.e^{y^2}+kxy)$
Aqui, $k$ é uma constante.
a) Seja $\gamma$ a curva fechada obtida unindo $𝐶_1$ e $𝐶_2$, orientada positivamente. Use o teorema de Green para calcular $\int _{\gamma} F.dr$
b) Determine o valor de $k$ para o qual o campo vetorial $F$ do enunciado seja conservativo. Para este valor de $k$, calcule $\int _{C_1} F.dr$, onde $𝐶_1$ é o arco de parábola descrito no enunciado. Justifique seu argumento.