Considere uma curva $C \subset \mathbb{R}$ e uma função densidade $\rho: C \to \mathbb{R}$. Definimos o valor médio (VM) de $\rho$ sobre $C$ por:
$VM(\rho ; C) = \frac{1}{\ell(C)} \int _C \rho (x,y,z) ds$ onde $\ell (C)$ é o comprimento da curva $C$.
Agora considere que a curva $C$ é dada por $\gamma (t)=(2cos(t),-2sen(t),t/2)$ onde $t \in [0,4\pi]$.
a) Mostre que $C$ está sobre um cilindro, esboce-a e exiba a orientação induzida sobre $C$ pela parametrização;
b) Calcule $\gamma'(t)$ e o elemento de comprimento $ds$ associados à parametrização $\gamma (t)$;
c) Calcule $\ell(C)$;
d) Calcule $VM(\rho ; C)$ quando $\rho(x,y,z) = z$;
e) Mostre que o valor médio encontrado no item anterior é assumido pela densidade $\rho(x,y,z)$ em algum ponto da curva e determine tal ponto.