Sejam $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ a aplicação linear definida por $f(x,y)=(-4y-2x,0,x+2y)$ e $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ a aplicação linear representada matricialmente pela matriz $\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1\\
\end{array}
\right]$ relativamente às bases $\beta _1 = \{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) \}$ de $\mathbb{R}^3$ e $\beta _2 = \{ (1,1),(0,1) \}$ de $\mathbb{R}^2$.
a) Determine o posto de $f$ e descreva analiticamente o seu espaço imagem. Verifique se $f$ é injetora.
b) Encontre a expressão analítica de $g(x,y,z)$ e de $f \circ g$.
c) Verifique se o endomorfismo $f \circ g$ é diagonalizável. Apresente uma matriz diagonal $D$ semelhante a $A$ e uma matriz diagonalizante $P$ tais que $P^{-1}.A.P=D$.